Sur le rôle d'une fonction, mon point de vue est qu'on ne peut pas généraliser. Et il me semble que c'est souvent le cas (pour beaucoup de service et pas que pour les RH). J'ai le sentiment (surement à tord) qu'actuellement on aime bien faire des généralités et mettre des étiquettes (personnellement cela me gêne de plus en plus).
Pour revenir sur la question des RH, ça dépend de la taille de l'entreprise, du niveau de délégation et des fonctions attribuées. Car les quelques RH que j'ai pu côtoyé au court de ma courte carrière on put cumuler tout ou partie : du recrutement, de la gestion des absences, contrat de travail, gestion des payes, formations, questions juridiques, CE, CHSCT, etc.., etc... . Et cela plus ou moins bien.
À la question, est-ce que les RH doivent s'occuper du bien-être du salarié, je pense qu'elles doivent y contribuer, mais pas plus que d'autres fonctions. Toutes les fonctions de l'entreprise doivent être coresponsables du bien-être des salariés.